ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE"

في هذا الموضوع سنقوم بإذن الله بوضع لمحة عن طرق حل بعض أنواع المعادلات التفاضية العادية "ordinary differential equations ".

1- بعض أنواع المعادلات التفاضلية من المرتبة الأولى وبمتحول واحد .

المحلولة بالنسبة للمشتق الأول أي تكتب على أحد الأشكال التالية:

◙ المعادلة التفاضلية منفصلة المتحولات والمعادلات القابلة للفصل
◙ المعادلة التفاضلية التامة.
◙ عامل التكامل
◙ المعادلات التفاضلية المتجانسة
◙ المعادلة التفاضلية التي تتحول إلى متجانسة
◙ المعادلة التفاضلية الخطية
◙ المعادلات التي تتحول الى معادلة خطية
- معادلة برنولي "Bernoulli ODE" .
- معادلة ريكاتي "Riccati ODE" .

معادلات تقبل حلاً وسيطياً.

◙ المعادلة من الشكل
◙ المعادلة من الشكل
◙ معادلة "Clairaut's equation"
◙ معادلة دالامبير "d'Alembert's equation "

2- بعض أنواع المعادلات التفاضلية من المرتبة الثانية وبمتحول واحد .

نوع 1
نوع 2
نوع 3

3- بعض أنواع المعادلات التفاضلية الخطية من مراتب عليا وبمتحول واحد .

بمعاملات ثابتة
التي تؤل إلى معاملات ثابتة.
أنواع أخرى

4- نظم المعادلات التفاضلية الخطية

المتجانسة
الغير متجانسة

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" Fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" Fb0ce7c2864d45cd277575f863f6af1c

المعادلة التفاضلية التامة من الدرجة الأولى.

تعريف:
نقول عن المعادلة التفاضلية أنها تامة إذا وجد تابع قابل للمفاضلة مرة على الأقل بحيث أنّ :

أو
ويكن عندئذ يكون الحل العام للمعادلة: .

نظرية :
إذا كان التابعين قابلان للتفاضل مرة على الأقل وكانا يحقاقان العلاقة التالية:

عندئذ تكون المعادلة تامة.

طريقة الحل :

لتكن المعادلة التامة ولنبحث عن تابع الذي يحقق .

ومن المعادلة نحسب .

مثال 1 :
بين أنّ المعادلة معادلة تامة وأوجد حلها.

لدينا

إذا المعادلة تامة .

وبالتالي :

بالتعويض نجد أنّ :

ويكون الحل العام للمعادلة على الشكل :

تــمـــاريــن لــلـــحـــل:

1.

2.

.
ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 14934aec3cac03b43841a2c7799a544b

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 14934aec3cac03b43841a2c7799a544b

المعادلة التفاضلية منفصلة المتحولات والمعادلات القابلة للفصل

تــعــريـــف : المعادلة التفاضلية التي يمكن كتابتها على الشكل :

تسمى معادلة تفاضلية فـَـصول أو قابلة للفصل .

إن هذا النوع من المعادلات من أسهل المعادلات التفاضلية حلاً ، لأن متغيري المعادلة مفصولان عن بعضهما ، حيث يمكننا كتابتها على الشكل :

وبمكاملة الطرفين مباشرة :

وهذا هو حل المعادلة التفاضلية .

تمريـــن :

(1) حل المعادلة التفاضلية :

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 5aec75c7b1220ea1a1429e257bf0ebb6

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 5aec75c7b1220ea1a1429e257bf0ebb6

عامل التكامل .

.

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية

تـعـريــف : نقول عن التابع أنه معامل تكامل للمعادلة إذا كانت المعادلة الناتجة عن ضرب طرفي المعادلة السابقة بـ هي معادلة تفاضلية تامة .

ويكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو الحل العام للمعادلة التامة .

مــثــال :

لاحظ أن المعادلة التفاضلية غير تامة .
ولا حظ أيضاً أننا لو ضربنا طرفي المعادلة بالتابع تتحول لمعادلة تامة.
ويكون الحل العام معطى بالعلاقة التالية:

بعض الحالات خاصة لإيجاد عامل التكامل:

الحالة 1 : أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل

إذا كان المقدار متعلق فقط بـ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ ويمكن حسابه من العلاقة:

الحالة 2 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل

إذا كان المقدار متعلق فقط بـ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ ويمكن حسابه من العلاقة:

مــثــال :

ثم نضرب المعادلة الاساسية بمعامل التكامل لنحصل على المعادلة التفاضلية التامة التالية

الحالة 3 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل

إذا كان المقدار متعلق فقط بـ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ ويمكن حسابه من العلاقة:

الحالة 4 :أن يكون عامل التكامل هو عبارة عن تابع على الشكل

إذا كان المقدار متعلق فقط بـ عندئذٍ يكون عامل التكامل متعلق بـ ويمكن حسابه من العلاقة:

مــثــال :

ملاحظة هامة:
كيف يمكننا معرفة عامل التكامل : الجواب لا يمكن ذلك إلا بالتجريب والخبرة والملاحظة .
ولكن بشكل عام لو كان عامل التكامل من الشكل لكان لدينا

حيث أنّ :

وبالتالي يجب أن يكون المقدار تابع لـ

تمرين :تحقق من أنّه حتى يكون عامل التكامل تابع لـ يجب أن يكون تابع لـ أيضاً.

المعادلة التفاضلية المتجانسة.

تــعــريــف: التابع أنه متجانس من الدرجة إذا كان :

تــعــريــف: نقول عن المعادلة التفاضلية أنها متجانسة من الدرجة إذا كان كل من التابعين متجانسان من الدرجة .

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة .

نفرض أنّ : .وبالتالي نجد أنّ:

وهذه المعادلة قابلة للفصل ... وتصبح مفصولة المتحولات على الشكل :

بشرط :

ونحصل على الحل العام بالمكاملة المباشرة وبالتالي:

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق

أمــثــلة وحــــالات خــــاصــــــة :

1: المعادلة من الشكل

هي حالة خاصة من الحالة السابقة . حيث أننا لحلها سنفرض أن
والحل العام يكون :

والحلول الشاذة إن وجدت تحقق

2: المعادلة من الشكل
وهذه المعادلة ليست متجانسة لكن لحل هذه المعادلة نقوم بفرض

فتتحول المعادلة إلى الشكل :

والمعادلة الأخيرة هي معادلة قابلة للفصل وحلها سهل.

3: المعادلة من الشكل

في هذه الحالة ننتبه الى وضع المستقيمين

إذا كانا متقاطعان ولتكن نقطة تقاطعهما

نقوم الأن بسحب الأحداثيات إلى نقطة التقاطع أي نقوم بالتحويل التالي:

فتتحول المعادلة إلى الشكل التالي:

وهي معادلة متجانسة يمكننا تحويلها إلى الشكل الأول :
إذا كانا موازيان نحول المعادلة من خلال تقسيم البسط على المقام إلى الشكل :

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

First Order Linear ODE
تعــريف :
تكون المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى خطية إذا أمكن كتابتها على الشكل :

حل المعادلة :

هناك عدد من الطرق لحل هذا النوع من المعادلات سنعتمد هنا طريقة سنستخدمها لاحقاً لحل المعادلات الخطية من مراتب أعلى.وسنشير الى طرق اخرى.

الطريقة الأولى :

الحل العام يكون على الشكل حيث أنّ :

هو الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة Homogeneous equation أي بدون طرف ثاني وهذه المعادلة قابلة للفصل وتحل على الشكل
هو أحد الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية .ويعطى بالعلاقة:

الطريقة الــثــانــيــة:
وهي تشبه الطريقة السابقة حيث نوجد الحل العام للمعادلة وهو ومن ثم نجعل الثابت متغير لـ . ونعوض الحل بالمعادلة الأصلية مع طرف ثاني ونحسب ويكون هذا الحل هو حل خاص للمعادلة مع طرف ثاني .
والحل العام يساوي حل المتجانسة بالاضافة الى الحل الخاص.

الطريقة الــثــالــثـة :
نفرض أنّ ونعوض في المعادلة :

نفرض أنّ فيكون لدينا .

وهما معادلتان تفاضليتان قابلتان للفصل. وبالنسبة لثابت التكامل يفضل وضعه في أخر تكامل يتم مكاملته للسهولة.

مــثــال :

أوجد الحل المعادلة التفاضلية الخطية :

وبالتالي الحل العام

طريقة أخرى وهي بإستخدام كثيرة حدود تايلور, ولاستخدام هذه الطريقة يفضل أن يكون كثيرة حدود

مــثــال :

أوجد الحل المعادلة التفاضلية الخطية :

نفرض أنّ .

سنكتب الطرف الأول كمتسلسلة قوى :

سنقوم الأن بمطابقة أمثال قوى بالطرفين كما الأتي:

وبالتالي نجد أنّ:

تــمـــاريـــن لـلــحـــل:

حل المعادلة السابقة بالطريقة الثالثة.
بيين أن للمعادلة عامل تكامل متعلق بـ

المعادلات التي تؤل الى خطية.

معادلة برنولي "Bernoulli ODE" .

طريقة الحل:

الفكرة تكمن بتحويلها اى معادلة تفاضلية خطية من المرتبة الأولى.. ويتم ذلك من خلال الأتي..

نقوم بالتحويلي الأتي : فينتج لدينا وبالتعويض بالمعادلة السابقة ينتج لدينا المعادلة الخطية التالية:

ملاحظة: يجب أخذ يبعين الإعتبار إن كان حلاً أما لا وفيما إذا كان خاص أم شاذ.

مثال :
حل المعادلة التالية

بإستخدام الطريقة أعلاه لدينا نفرض أنّ وبالتالي نحصل على المعادلة :

وهي معادلة تفاضلية خطية من المرتبة الأولى وحلها العام هو

وبالتالي يكون لدينا

والعلاقة الأخيرة هي الحل العام .....

ونلاحظ أنّ هو حل للمعادلة ...ولكنه حل شاذ لانه لا ينتج من الحل العام.
معادلة ريكاتي "Riccati ODE" .

طريقة الحل:

سنقوم بحل معادلة ريكاتي بتحويلها الى معادلة خطية من المرتبة الأولى.
وهذه الطريقة تعتمد على معرفة حل خاص لمعادلة ريكاتي.

ليكن حل خاص لمعادلة ريكاتي وبالتالي

سنقوم الآن بإجراء التحويل التالي...

بالتعويض بالمعادلة أعلاه نجد أنّ:

نلاحظ أنّ المعادلة الأخيرة عبارة عن تفاضلية خطية من المرتبة الأولى.

ملاحظة: كان بالامكان تحويل معادلة ريكاتي الى معادلة برنولي من خلال الفرض حيث انّ حل خاص لمعادلة ريكاتي.

مثال :

لتكن المعادلة :

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 4ae0dbb0165820d7a80530f44acb3067

بين أن حل خاص للمعادلة السابقة.
أوجد الحل العام لها.

معادلات تقبل حلاً وسيطياً.

امعادلة من الشكل:

لحل هذه المعادلة نفرض أنّ

وبالتالي يكون:
امعادلة من الشكل:

لحل هذه المعادلة نفرض أنّ

معادلات تقبل حلاً وسيطياً.

معادلة "Clairaut's equation" ولها الشكل العام التالي:

ولحلها نفرض أنّ

وبالتالي نجد أنّ:
- إمـّا:
- أو :

وبالتالي نجد أنّ الحل العام لـ "Clairaut's equation"

إجتماع حزمة المستقيمات
ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 665a9e465e228503d45089c5519e360a

مع الحل الوسيطي (غلاف الحزمة)

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" B726f844304e6b789832f916504bee0b

مثال :

المعادلة

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" B825bf75df2d7c3209706e4024decfbb

الحل هو حزمة المستقيمات ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 63aff066c647e09bfe492616acefc8b6

بالإضافة إلى غلاف الحزمة ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" C5c0a0b37224349aac45cba2c4b200a7

مثال أخر:

ركن المعادلات التفاضلية العاديّة "ODE" 143

لاحظ أنّ حزمة الحلول تمس المنحني المطى وسيطياّ الدي يشكل غلاف للحزمة ...

وهذا رسم توضيحي أخر لنفس المثال السابق ..لنرى أنّ الحل الوسيطي هو غلاف حزمة المستقيمات .