التوبولوجي (شرح +أمثله محلوله +تمارين)

المرجع الاساسي (كتاب التبولوجي العام للدكتور أحمد زهران)+ مقتطفات من كتب علميه أخرى + اجتهادات شخصيه
الدرس الأول (مقدمه في التبولوجي)
تعريف
لتكن X مجموعه ما غير خاليه ، T تجمع من المجموعات الجزئيه في X تحقق الشروط التاليه:
1-Tتحتوي المجموعتين X ,

2-اتحاد أي عدد من عناصر T يكون عنصرا في T

3 -تقاطع أي عنصرين من عناصرT يكون عنصرا في T
يسمى T تبولوجي (Topology)على X
ويسمى الزوج المرتب (X,T) فضاء تبولوجيا(Topological spaces)
ويسمى كل عنصر A من عناصر T مجموعه مفتوحه (Open set)
مثال
بين أي من المجموعات التاليه يشكل تبولوجيا على{X= {d،c،b،a
T={X ، ،{a }، {b }، {b،a } ، {b،d}، {c،d،a }} - 1

2- {{X ،، {b،a }،، {c ،a }=

3- { {X ، ،{a } ، {b،c }، {b،c،d }، {c،b،a } =

4- { [a } ، {b،c }، {b،c،d }، {c،b،a } ،،} =

5- { {X ، ،{a }} =
الحل

1 ) واضح أن T لا تشكل تبولوجي على X لأن
{b،a }، {b،d } ينتميان إلى T
ولكن
{اتحادهم = {b،d،a } لاينتمي إلى T
أي أن T لا تحقق الشرط الثاني من التعريف

2 ) أيضا نلاحظ أن T لاتشكل تبولوجي على X لأن
{b،a }، {a،c } ينتميان إلى T
ولكن
تقاطعهم = { a } لاينتمي إلى T

أي أن T لا تحقق الشرط الثالث من التعريف


3) تشكل تبولوجي على X لأن T تحقق الشروط المعطاه في التعريف ومن ثم فإن (X,T) تشكل فضاء تبولوجي

4) لاتشكل تبولوجي لأن X لا تنتمي إلى T

5) تشكل تبولوجي على X لأن T تحقق الشروط المعطاه في التعريف ومن ثم فإن (X,T) تشكل فضاء تبولوجي

مثال
لتكن a،b،c } =X}
T={X ، ،{a }، {b }، {b، a
1
) هل T يمثل تبولوجي على X؟
نعم يمثل وذلك لتحقق الشروط

2) هل المجموعه {c } ، {a،c } ، {a،b } مجموعات مفتوحه ؟
{c } ، {a،c } ليستا مجموعات مفتوحه لأنها لا تنتمي إلى T
{a،b } مجموعه مفتوحه لأنها تنتمي إلى T


مثال
لتكن X أي مجموعه ونعرف X، } =T}
هل T تبولوجي على X ؟
نعم وهو أصغر تبولوجي يعرف على X

ويسمى بالتبولوجي الغير متقطع أو غير منفصل أو غير هيكلي (Indiscrete toplogy)
وأحيانا يرمز للفضاء الغير منفصل بالرمز (X,I)


مثال
لتكن X أي مجموعه فإن اكبر تبولوجي على X هو (T=P(X
(أي مجموعة جميع المجموعات الجزئيه من X)

ويسمى بالتبولوجي المتقطع أو المنفصل أو الهيكلي (discrete toplogy)
وأحيانا يرمز للفضاء المنفصل بالرمز (X,D)

مثال
اثبتي صحة أو خطأ العبارات التاليه

1)التبولوجي المعرف على أي مجموعه يكون وحيد (خطأ)

التبولوجي المعرف على أي مجموعه ليس وحيد
مثال على ذلك

إذا كانت a،b }= X} فممكن تعريف التبولوجيات التاليه على X
X ، }= T}
X ، ،{a } } = T}
X، ،{b } } = T}
X ، ،{a }،{b }،{a،b }} = T}

2)إذا كانت T1,T2,T3,T4------- , Tn
تبولوجيات معرفه على X
فإن اتحاد هذه التبولوجيات يمثل تبولوجي على X (خطأ)

لا ….. لا يشترط ذلك
مثال يوضح خطأ العباره السابقه
إذا كان a،c،b }= X}
X ، ،{a }}=T1}
{X ، ،{b } } = T}
ولكن
اتحادهم لايمثل تبولوجي على X وذلك لأن {a، b }لاينتمي إلى T1اتحاد T2

3) تقاطع تبولوجيات يمثل تبولوجي على X (صح)

البرهان

1- بما أنX ، ينتميان إلى Ts لكل sينتمي إلى S إذن X ، ينتمي إلى تقاطع Ts لكل sينتمي إلى S

2- (توضيح : لكي نثبت الشرط الثاني نفرض مجموعه من العناصر تنتمي إلى التقاطع وعلينا أثبات أن اتحاد هذه العناصر ينتمي أيضا إلى التقاطع )

نفرض أن Ai ينتمي إلى تقاطع Ts لكل i ينتمي إلى I

إذن Aiينتمي إلى Ts لكل i ينتمي إلى I ولكل s ينتمي إلى S
(وذلك لأن من الطبيعي إذا كانت العناصر تنتمي إلى(المجموعه الصغيره) التقاطع بين التبولوجيات فهي تنتمي إلى(المجموعه الكبيره) كل تبولوجي )
إذن اتحاد Ai ينتمي إلى Ts لكل s ينتمي إلى S
حيث أن Ts تبولوجي على X لكل s ينتمي إلى S

ومنه فإن اتحاد Ai ينتمي إلى تقاطع Ts لكل s ينتمي إلى S و لكل i ينتمي إلى I

3-(توضيح : لكي نثبت الشرط الثالث نفرض عنصرين ينتميان إلى التقاطع وعلينا أثبات أن تقاطع هذين العنصرين ينتميان أيضا إلى التقاطع أيضا )

ليكن A,B ينتمي إلى تقاطع Ts لكل s ينتمي إلى S

إذن A,Bينتمي إلى Ts لكل sينتمي إلى S

ومنه فإن ِA تقاطع B ينتمي إلى Ts لكل sينتمي إلى S
حيث أن Ts تبولوجي على X لكل sينتمي إلى S

إذن نستنتج أن ِA تقاطع B ينتمي إلى تقاطع Ts لكل s ينتمي إلى S

من 1 و2 و3 نستنتج أن تقاطع التبولوجيات يشكل تبولوجي على X


تمارين

1) إذا كانت X مجموعه غير خاليه ،
T={ ، A X، A^c is finite
أي أن T هو مجموعة كل المجموعات الجزئيه من X التي تكون مكملاتها منتهيه ، فبين أن T يشكل تبولوجيا على X



2) نفرض ان X مجموعه غير خاليه ،
T={ ، A X، A^c is countable


أي أن T هو مجموعة كل المجموعات الجزئيه من X التي تكون مكملاتها قابله للعد ، فبين أن T يشكل تبولوجيا على X